סילבוס

תוכן הקורס ומטרתו

משקל: 3.5

דרישות קדם: שיטות דיפרנציאליות ואינטגרליות; אלגברה לינארית.

דוגמאות ממכניקה וחשמל לבעיות עם תנאי התחלה או שפה. משוואות ממעלה ראשונה, משפט הקיום והיחידות. משוואות לינאריות מסדר שני: משוואה הומוגנית ואי-תלות לינארית,Wronskian והורדת סדר, משוואות הומוגניות עם מקדמים קבועים. הפרדה לבעייה הומוגנית ולא הומוגנית, שיטת המקדמים הבלתי ידועים ושיטת המקדמים המשתנים. פונקצית Green חד-צדדית לפתרון בעיית התחלה, תגובה לאילוץ ותגובה לתנאי התחלה (שפה). הכללת השיטות למשוואות ממעלה n, המקרה של מקדמים קבועים. משוואת Euler, פתרונות ע"י טורים (שיטת Frobenius ), פונקציות Bessel, Legendre, Hermite, Laguerre , פתרונות רגולריים וסינגולריים. התמרת Laplace ושימושיה בפתרון משוואות דיפרנציאליות, משפטי ערך התחלתי וסופי, התמרה של קונבולוציה. מערכות של משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר ראשון. בעיות Sturm-Liouville צמודות לעצמן, פונקציות עצמיות וערכים עצמיים, משפטי תנודה, פיתוח פונקציה לטור פונקציות עצמיות של בעיית שטורם-ליוביל. הדוגמה של טורי Fourier.

סילבוס מפורט:

שבועות 1,2: דוגמאות של משוואות דיפרנציאליות שמקורן במכניקה וחשמל. מיון משוואות דיפרנציאליות, תנאי התחלה, קיום ויחידות הפתרון. משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון: משוואה לינארית, משפט הקיום והיחידות למשוואה לינארית, משוואת ברנולי, משוואה הניתנת להפרדת משתנים, משפט הקיום והיחידות למשוואה לא לינארית, משוואה מדויקת, גורם אינטגרציה.

שבועות 3,4,5 : משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר שני: משוואה הומוגנית ואי-הומוגנית, תלות ליניארית של פונקציות,Wronskian והורדת סדר המשוואה, משוואות הומוגניות עם מקדמים קבועים. הפרדה לבעיה הומוגנית ולא הומוגנית, שיטת המקדמים הבלתי ידועים ושיטת וריאצית הפרמטרים. הצגת פתרון בעיית התחלה באמצעות פונקצית Green . הפרדת הפתרון לסכום של תגובה לאילוץ ותגובה לתנאי התחלה ושפה.

שבוע 6 : משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר : הכללת הנושאים הנ"ל למקרה של מקדמים קבועים.

שבוע 7 : מערכת של משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר 1: פתרון המערכת ההומוגנית באמצעות ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של המטריצה. המקרים של ערכים עצמיים שונים ממשיים, ערכים עצמיים מרוכבים וערכים עצמיים מרובים. ה- Wronskian של המערכת. המערכת האי-הומוגנית.

שבועות 8,9,10 פתרון משוואות דיפרנציאליות על ידי טורי חזקות. משוואות לז'נדר, צ'ביצ'ב, לגר ובסל.

שבועות 10,11 : התמרת Laplace ושימושיה בפתרון משוואות דיפרנציאליות. פתרון המשוואה כאשר פונקצית האילוץ היא פונקצית מדרגה ופונקצית דלתא.

שבועות 12,13: בעיות Sturm-Liouville צמודות לעצמן, פונקציות עצמיות וערכים עצמיים. הדוגמה של טורי פוריה.