סילבוס

תוכן הקורס ומטרתו

בקורס נלמד על טורי פורייה והמשפטים המרכזיים בתורה זו. לקראת סוף הקורס ניגע גם בהתמרות פורייה. הלימוד יעבור דרך הבנה של מהו מרחב לינארי אינסוף מימדי, כיצד אנחנו מקרבים איבר במרחב זה ומתי מקבלים קירוב טוב. נלמד את התיאוריה באופן הכללי אך נתמקד במרחבי פונקציות מחזוריות 2*פאי. נכיר מערכות אורתונורמליות במרחבים אלו ונבין עבור אילו פונקציות קיים בכלל טור כזה ועבור אילו פונקציות הטור הזה הוא קירוב טוב, ובאיזה מובן.

היקף: 2 שעות הרצאה + 1 שעה תרגול

תוכן הקורס:

1. מרחב וקטורי, מכפלה פנימית ונורמה, אי שוויון קושי-שוורץ.
2. מערכת אורתוגונלית/אורתונורמלית, משפט פיתגורס. משפט הקירוב הטוב ביותר.
3. אי שוויון בסל, שוויון פרסבל, הלמה של רימן לבג, התכנסות בנורמה, מרחבי בנך והילברט. משפטי שקילויות, שוויון פרסבל המוכלל.
4. טור פורייה הממשי/המרוכב, הקונבולוציה, גרעין דיריכלה, משפט דיריכלה.
5. גזירה ואינטגרציה איבר-איבר של טורי פורייה, התכנסות במ"ש של טורי פורייה.
6. שוויון בנורמה, קצב דעיכת המקדמים, חלקות פונקציה על סמך קצב דעיכת המקדמים.
7. המרחב L_1, התמרת פורייה, הלמה של רימן לבג.
8. התמרת פורייה ההפוכה.
9. משפט פלנשרל המוכלל, משפט הקונבולוציה.
10. חזרה על מושגים מחדו"א, המשכה מחזורית/זוגית/אי זוגית (יפוזר לאורך הסמסטר לפי הצורך).

הדיון בנושאים הבאים יצומצם או יושמט בשנת תשפ"ד:

1. גרעין דיריכלה, הוכחת משפט דיריכלה.
2. טורי פורייה בקטעים שונים, טור סינוסים וטור קוסינוסים.
3. הקשר בין מקדמי פורייה לתכונות של הפונקציה.
4. קונבולוציה מחזורית, תכונות, מקדמי פורייה מרוכבים של קונבולוציה מחזורית.