סילבוס

תוכן הקורס ומטרתו

משקל: 2.5
דרישות קדם: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי; אלגברה לינארית;
שיטות דיפרנציאליות ואינטגרליות.

- שדה המספרים המרוכבים. האלגברה והגיאומטריה של מספרים מרוכבים. ייצוג קטבי. צמוד מרוכב.
- הפונקציות logx ,expx חזקות, שרשים, וביאורם הגיאומטרי. אפיון אזורים ותחומים במישור המרוכב (דיסק, טבעת). פונקציה של משתנה מרוכב.
- פונקציה כמיפוי. גבולות, רציפות, נגזרת. כללי גזירה, פונקציות אנליטיות, משואות קושי-רימן. מסקנות ושימושים של משואות קושי-רימן, פונקציות הרמוניות ופונקציה הרמונית צמודה.
- פונקציות אלמנטריות.הפונקציה האקספוננציאלית, פונקציות טריגונומטריות, פונקציות היפרבוליות, לוגריתמים ומישור החיתוך, ענפים, פונקציות הפכיות. שרשים וענפי חיתוך.
- אינטגרציה במישור המרוכב, אינטגרל על קו Jordan פשוט ועל מסלול. תחום פשוט קשר. תנאים לאי תלות במסלול האינטגרציה. משפט Cauchy Goursat.
- אינטגרל Cauchy ושימושו להערכת נגזרת. נגזרות מכל סדר של פונקציות אנליטיות. משפט Liouville לפונקציות שלמות והמשפט היסודי של האלגברה.
- קריטריון Cauchy-Hadamard להתכנסות של טורי חזקות, גזירה ואינטגרציה של טורי חזקות. אפסים של פונקציות אנליטיות. מבחן M של Weierstrass להתכנסות במידה שווה של טורי פונקציות. החלפת סדר של סכום ואינטגרל. גבול במידה שווה של סדרת פונקציה אנליטית.
- נקודות סינגולריות מבודדות של פונקציה אנליטית. משפט השארית ושימושו. נקודות סינגולריות מבודדות ומיונן: סליקה, קוטב ועיקרית, משפט השארית. חישוב אינטגרלים ממשיים באמצעות משפט השארית. הלמה של ג'ורדן.