סילבוס

תוכן הקורס ומטרתו

שיטות מתמטיות 2

הרצאה: 3
תרגיל : 2
דרישות קדם: אין
מטרת/תיאור הקורס: זהו קורס המקנה יסודות מתמטיים בסיסיים באלגברה לינארית לכל מסלול ההייטק
ציון : 80% בחינה, 20% מטלות בית ובוחן אמצע

נושאי הקורס :
מספרים מרוכבים, מערכת משוואות ליניאריות, אלגברה של מטריצות, דטרמיננטים, מרחבים וקטוריים, ערכים ווקטורים עצמיים ולכסון מטריצות, מכפלה פנימית, בסיסים אורתונורמליים, העתקות לינאריות.

פירוט:
1 - מספרים מרוכבים: הגדרה, מציאת הופכי, צמוד ותכונות בסיסיות של צמוד, הצגה פולרית ונוסחת דה מואבר.

2 - מערכות משוואות ליניאריות: פתרון בעזרת שיטת הניפוי של Gauss, מערכות שקולות, מטריצות בצורה מדורגת ומדורגת קנונית. חקירת מערכת משוואות על ידי דירוג מטריצת המערכת. תכונות של מערכת הומוגנית.

3 - מבוא לגיאמטריה אנליטית: וקטורים במישור ומרחב, חיבור וכפל בסקלר של וקטורים במישור ובמרחב. משמעות גיאומטרית של פתרון מערכת משוואות ליניאריות.

4 - מרחבי ה- n-יות: חיבור וכפל בסקלר. צירופים לינאריים, תלות-לינארית ופרישה. בסיס ומימד.

5 - אלגברה של מטריצות: הגדרות בסיסות וסוגים מיוחדים של מטריצות. פעולות על מטריצות: חיבור, כפל בסקלר, כפל, שיחלוף. מטריצה הפיכה ומטריצה סינגולרית. מציאת מטריצה הפיכה. מערכת משוואות ליניאריות בכתיב מטריציאלי, משפט על מבנה של הפתרון של מערכת לא הומוגנית.

6 - דטרמיננטה של מטריצה: הגדרה של דטרמיננטה, קו-פקטורים, מינורים, חישוב ותכונות של דטרמיננטה. כלל Cramer לפתרון מערכת משוואות. מציאת מטריצה הפוכה על ידי שימוש בדטרמיננטות (מטריצת adjoint ותכונותיה). מכפלה וקטורית ומכפלה משולשת במרחב אוקלידי.

7 - דמיון מטריצות. ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים, הגדרות ותכונות. ריבוי אלגברי וגיאומטרי. לכסון מטריצה.

8 - מרחבים וקטוריים: הגדרה ודוגמאות בסיסיות, תת מרחב וקטורי. סכום וחיתוך של תת מרחבים. צירוף ליניארי, פרישה, תלות ואי-תלות ליניארית. מרחב השורות/העמודות של מטריצה. בסיס ומימד של מרחב וקטורי. דרגה ואפסות של מטריצה ומשפט הדרגה והאפסות. הצגות תחת החלפת בסיס. משפט המימד הראשון.

9 - מכפלות פנימיות: הגדרת המכפלה הפנימית (כולל המכפלה הפנימית האינטגרלית), הגדרת אורתוגונליות של וקטורים, נורמה של וקטורים ומרחק בין וקטורים. מציאת בסיס אורתונורמלי לפי גרם-שמידט.

10 - העתקות לינאריות: הגדרה ודוגמאות, הצגה מטריציאלית של העתקה ליניארית, תמונה וגרעין של העתקה ליניארית, דרגה של העתקה ליניארית, משפט הממד השני. העתקה חד ? חד ערכית והעתקה על. הרכבה של העתקות ליניאריות, העתקה הפיכה והעתקה הפוכה. הצגות תחת החלפת בסיס. מטריצת סיבוב במישור ובמרחב.